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D-S证据理论

目录

01 简介

02 辨识框架

03 基本概率分配

1.BPA&m函数

2.与传统概率的区别:

04 信度函数与似然函数

1.函数定义

2.置信区间

05 Dempster合成规则

1.案例

2.“Zadeh 悖论”


01 简介

  证据理论源于Dempster提出的上下概率,后经Shafer发展建立起一个比较完整的理论体系,因此常称为D—S证据理论,又称信任函数理论。一般认为证据理论是传统概率理论的一种拓展,可在任意抽象层次上进行不精确推理;它可以区分无知与等可能性,在问题描述上更加灵活准确。

  证据理论是一种不精确推理理论,属于人工智能范畴,最早应用于专家系统中,具有处理不确定信息的能力。作为一种不确定推理方法,证据理论的主要特点是:满足比贝叶斯概率论更弱的条件;具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力·。

02 辨识框架

   在DS证据理论中,将所有命题组成的样本空间定义为辨识框架,记为Θ,它是由一组相互排斥且构成完备集的命题所组成的集合,表示对某一问题的所有可能答案。辨识框架的定义完全取决于问题的特性,例如针对医疗诊断,其辨识框架应包含所有潜在的疾病,医生诊断后得出的结果称为证据。

  假设辨识框架定义为,其中θ1,θ2,……θN就表示一组相互排斥且可以构成完备集的基本假设,

  Θ的所有子集构成的集合称为其幂集,记为

03 基本概率分配

1.BPA&m函数

  基本概率分配(Basic probability assignment,BPA)指的是计算辨识框架Θ中每一条证据的基本概率的过程,这一过程用基本概率分配函数,又叫mass函数或m函数来完成(注:不等于概率)。m函数反映命题信度的大小,记为m(x)且满足:

        BPA可以赋予单个元素或辨识框架中元素的任意子集,赋予空集的BPA为0,赋予辨识框架的BPA表示全局不确定性,而赋予某一多元素子集的BPA表示局部不确定性,即只能区分该集合表示的命题,而不能进一步区分该集合中的元素所表示的命题。

       若某个BPA既不包括全局无知不确定性,也不包括局部物质不确定性,则该基本概率分配函数退化为传统概率函数。

2.与传统概率的区别:

  

  

         Bel(A)是对信任程度的下限估计。Pl(A)是对信任程度的上限估计。

04 信度函数与似然函数

1.函数定义

        可以用信度函数Bel(A)和似然函数Pl (A)对证据的不确定性进行度量。它们是D-S证据理论种衡量证据不确定性的指标。信任函数值Bel(A)表示证据对命题A为真的信任程度,似然函数值Pl(A)表示证据对命题A不为假的信任程度。 

        信任函数和似然函数的定义及关系定义如下:

        下图为两函数之间的关系的可视化说明:

2.置信区间

       由上述说明可知:Bel(A)是对信任程度的下限估计,Pl(A)是对信任程度的上限估计。

       [Bel(A),Pl(A)]是支持基本假设A的概率上下界或称为置信区间,表示证据A的确定性程度。 若A的置信区间为[0,0]即Bel()=1,表示完全信任;若A的置信区间为[1,1]即说明Bel(A)=1完全信任A;[0.2,0.4]表示以0.2的信度信任A,以0.6的信度信任

05 Dempster合成规则

        D-S理论的核心是Depster合成规则,其假设所有的证据完全独立且可靠。在Dempster合成规则中,如果任意一条证据否定了某个基本假设,不管其他证据以多大信度支持该基本假设,合成结果将完全否定该基本假设。Dempster合成规则如下:

1.案例

        下面,运用Dempster合成规则对一个实例进行证据合成:

        在某宗 “谋杀案”中, 根据两个目击证人e1和e2来判定三犯罪嫌疑人(Peter, Paul, Mary) 中谁是凶手. 两条证据的基本概率质量如下表所示

基本概率质量

犯罪嫌疑人

Peter

Paul

Marry

m1

0.99

0.01

0

m2

0

0.01

0.99   

        针对此实例,辨识框架为Θ={Peter,Paul,Mary},m1那一行代表第一个证人对三个嫌疑人的指证(BPA的过程),构成一条证据。  用Dempster合成规则对上述两条证据进行合成得到:

同理,对Paul和Marry,运用合成规则计算可得 m(Paul)=1;m(Mary)=0。

2.“Zadeh 悖论”

        合成结果表明凶手就是Paul,而Peter、Mary不可能是凶手,显然与常理有悖。

        在Dempster合成规则中,如果任意一条证据否定了某个基本假设,不管其他证据以多大信度支持该基本假设,合成结果将完全否定该基本假设。且Dempster没有定义如何合成两条完全冲突的证据,若两证据完全冲突,则有,合成表达式中的分母将为0。


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