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DP动态规划之背包问题

01背包问题

 a个有重量和价值的物品,容量为b的背包,求拿到的最大价值

//状态 dp[i][j]前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,a,b;
int dp[1010];
struct BONE{
	int v,r;
}bone[1010];

int solve()
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=a;i++)
	{
		//反过来存储就可以分辨出是上一行继承下来的dp[j] 
		//还是当前这一行继承过来的dp[j-bone[i].r]+bone[i].v
		for(int j=b;j>=bone[i].r;j--)
			dp[j] = max(dp[j],dp[j-bone[i].r]+bone[i].v);
	}
	return dp[b];
}
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>a>>b;
		for(int i=1;i<=a;i++) cin>>bone[i].v;
		for(int i=1;i<=a;i++) cin>>bone[i].r;
		cout<<solve()<<endl;
	}
	return 0;
}

 

多重背包问题

将01背包问题中物品的数量改为该物品有某数量多个

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010;
int n,m;
int f[N];
struct good{
	int v,w;	
};
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	vector<good> goods;
	cin >> n >> m;
	//将同一价值的s个背包打包成一个
	//使得打包后的包还能拿出1-s个包
	//即打包成2的0次方 2的1次方到不超过s的2的N次方
	//再加上s-2的N次方 
	for(int i=0;i<n;i++){
		int v,w,s;
		cin >> v >> w >>s;
		for(int j=1;j<=s;j*=2){
			s -= j;
			goods.push_back({v*j,w*j});
		}		
		if(s > 0) goods.push_back({v*s,w*s});
	}
	//之后继续01背包 
	for(auto good: goods)
		for(int j=m;j >= good.v;j--)
			f[j] = max(f[j],f[j-good.v]+good.w);
	cout << f[m] <<endl;
	return 0;
}

 

完全背包问题

将01背包问题中物品的数量改为该物品有无限多个

//完全背包即每个物品有无限多种
//即刚好利用01滚动优化里正向循环的重复加特性解决无限多物品问题 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[10000100];
struct Cao{
	long long value,time;
}cao[11000];
int main()
{
	long long t,m;
	cin>>t>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%lld%lld",&cao[i].time,&cao[i].value);
		
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=cao[i].time;j<=t;j++)
			dp[j] = max(dp[j-cao[i].time]+cao[i].value,dp[j]); 

	cout<<dp[t];
	return 0;
}

 

分组背包问题

将多重背包问题中的不同物品进行分组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cout.tie(0),cin.tie(0);
	//物品组数和背包容量 
	cin >> n >> m;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin >> s[i];
		for(int j=0;j<s[i];j++)
			cin >> v[i][j] >> w[i][j];
	}
	//枚举组数-枚举容量-再枚举组中具体的数量
	//先枚举容量再枚举具体数量才能保证一组中最多选一个
	//即组中的物品会相互干扰 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=0;j--)
			for(int k=0;k<s[i];k++)
				f[j] = max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}

        


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