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作业:随机信号的参数建模法及MATLAB实现

随机信号AR模型及MATLAB实现

随机信号的参数建模法
在对语音信号进行编码时,往往通过分析不同种类语音信号的特点及产生,用数学模型表示信源,而编码器根据输入信号计算模型参数,然后对模型参数进行编码,也就是说,只需要对编码后的参数进行传送(而不需要传送语音信号本身),解码器通过收到的模型参数,直接利用相同的数学模型即可重建出语音信号,大大减小了传送的数据量.

在这里插入图片描述
随机信号x ( n )是由白噪声w ( n ) 激励某一确定系统的响应,只要w ( n ) 的参数确定了,研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。

AR模型

一、原理
随机信号x ( n )由本身的若干次过去值x ( n − k )和当前的激励值w ( n )线性组合产生:
在这里插入图片描述
该模型的系统函数为:
在这里插入图片描述
其中,p pp为系统阶数。

该模型系统函数中只有极点,无零点,也称为全极点模型。系统由于极点的原因,要考虑到系统的稳定性,因而要注意极点的分布位置。

二、AR模型的参数估计
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
(1)可得模型参数{ak},a1=-14/24,a2=-9/24,a3=1/24,代入:
在这里插入图片描述
重新整理:
在这里插入图片描述
利用MATLAB:

a = [-14 / 24, -9 / 24, 1 / 24];
A = [1, a(1), a(2), a(3);...
     a(1), 1 + a(2), a(3), 0;...
     a(2), a(1)+a(3), 1, 0;...
     a(3), a(2), a(1), 1];
b = [1; 0; 0; 0];
Rxx = A \ b;

运行结果:

Rxx =

    4.9377
    4.3287
    4.1964
    3.8654

即Rxx(0)= 4.9377, Rxx(1)=4.3287, Rxx(2)=4.1964, Rxx(3)=3.8654,再根据公式:
在这里插入图片描述
MATLAB程序:

for m = 5 : 6
    Rxx(m) = 0;
    for k = 1 : 3
        Rxx(m) = Rxx(m) - a(k) * Rxx(m - k);
    end
end
Rxx

运行结果:

Rxx =

    4.9377
    4.3287
    4.1964
    3.8654
    3.6481
    3.4027

即Rxx(4)=3.6481,Rxx(5)=3.4027.

(2)现已知Rxx(0)~Rxx(5),再根据
在这里插入图片描述
MATLAB程序:

R = [Rxx(1) Rxx(2) Rxx(3) Rxx(4);...
     Rxx(2) Rxx(1) Rxx(2) Rxx(3);...
     Rxx(3) Rxx(2) Rxx(1) Rxx(2);...
     Rxx(4) Rxx(3) Rxx(2) Rxx(1)];
R \ b

运行结果:

ans =

    1.0000
   -0.5833
   -0.3750
    0.0417

(3)再根据
在这里插入图片描述
利用MATLAB程序:

clear; clc;
xn = [0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790...
      1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488...
      1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763...
      1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];

Rxx_obs = xcorr(xn) ./ length(xn);
Rxx_obs = Rxx_obs(length(xn) : end)

运行结果:

Rxx_obs =18
 
     1.9271    1.6618    1.5381    1.3545    1.1349    0.9060    0.8673    0.7520916
 
     0.7637    0.8058    0.8497    0.8761    0.9608    0.8859    0.7868    0.74451724
 
     0.6830    0.5808    0.5622    0.5134    0.4301    0.3998    0.3050    0.25502532
 
     0.1997    0.1282    0.0637    0.0329   -0.0015   -0.0089   -0.0143   -0.0083

再将求出的Rxx(0)~Rxx(3)代入:
在这里插入图片描述
求得:
a1=-0.6984,a2= -0.2748,a3=0.0915,σ^2=0.4678与真实 AR 模型参数误差为: e1=0.1151, e2=0.1002, e3=0.0498,原因在于我们只有一部分的观测数据,使得自相关序列值与理想的完全不同。输入信号的方差误差比较大: eσ=0.5322,原因之一是计算机仿真的白噪声只有 32 点长,32 点序列的方差不可能刚好等于 1。当给出一段观测值求 AR 模型参数这样直接解方程组,阶数越高时直接解方程组计算就越复杂,因而要用特殊的算法使得计算量减小且精确度高。


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