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基于MATLAB的隐函数偏导与多重积分(附代码)

一. 隐函数的偏导数

给定隐函数:

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0

隐函数的偏导可得:

MATLAB格式:

F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)

例题1

已知:

z=f(x,y)=(x^2-2x)e^{-x^2-y^2-xy}

求:

\frac{\partial y}{\partial x}

解:

MATLAB代码:

clc;clear;
syms x y;
f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
pretty(-simplify(diff(f,x)/diff(f,y)))

运行结果:

二. 不定积分解析解

给出不定积分:

\int f(x)dx

MATLAB格式:

F=int(fun,x)

 例题2

给定函数f(x),用diff()函数求其一阶导数,再积分,检验是否可以得出一致的结果。

f(x)=\frac{sinx}{x^2+4x+3}

解:

MATLAB代码:

clc;clear;
syms x;
y=sin(x)/(x^2+4*x+3);

%一阶导数与积分
y1=diff(y);
y0=int(y1); %对导数积分
pretty(y0)

%对原函数求四阶导数,再对结果进行四次积分
y4=diff(y,4);
y00=int(int(int(int(y4))));
pretty(simplify(y00))

运行结果:

   sin(x)
------------
 2
x  + 4 x + 3

   sin(x)
------------
 2
x  + 4 x + 3

例题3

证明:

解:

MATLAB代码:

clc;clear;
syms a x;
f=simplify(int(x^3*cos(a*x)^2,x))
f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+...
    (3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x);
simplify(f-f1) %求两个结果的差

 运行结果:

f =((3*sin(a*x)^2)/8 + (a^3*x^3*sin(2*a*x))/4 - (3*a^2*x^2*(2*sin(a*x)^2 - 1))/8 - (3*a*x*sin(2*a*x))/8)/a^4 + x^4/8
 
ans =3/(16*a^4)

三. 定积分与无穷积分

给定积分:

\int_a^b f(x)dx

MATLAB格式:

I=int(f,x,a,b)

给定无穷积分:

\int_a^\infty f(x)dx

MATLAB格式:

I=int(f,x,a,inf)

例题4

求当a=0,b=1.5或\infty时的定积分值。

f(x)=e^{-x^2/2}

解:

MATLAB代码如下;

clc;clear;
syms x;
I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5);
vpa(I1,70)
I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)

运行结果:

ans =1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528
 
 
I2 =(2^(1/2)*pi^(1/2))/2

四. 多重积分问题

例题5

求解F(x,y,z)的积分:

\int\int\int F(x,y,z)dx^2dydz

解:

积分顺序:

z\to y\to x\to x

MATLAB代码:

clc;clear;
syms x y z;
f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+...
 4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y));

%一种积分顺序
f1=int(f0,z);
f1=int(f1,y);
f1=int(f1,x);
f1=simplify(int(f1,x))

%换种积分顺序
f2=int(f0,z);
f2=int(f2,x);
f2=int(f2,x);
f2=simplify(int(f2,y))

%看两者结果是否一致
simplify(f1-f2)

运行结果:

 
f1 =sin(x^2*y)*exp(- y*x^2 - z^2)
 
f2 =sin(x^2*y)*exp(- y*x^2 - z^2)
 
ans =0

例题6

求解如下积分:

\int_0^1\int_0^\pi\int_0^\pi 4xze^{-x^2y-z^2}dzdydx

解:

MATLAB代码:

clc;clear;
syms x y z;
I=int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi);
%实际上求出来的结果含有Ei(n,z),可求数值解
vpa(I,60)

 运行结果:

ans =1.73276222303122046279036924954865797833228791294854004417627


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